第二十四章首日競賽

2009年，適逢國際數學奧林匹克IMO舉辦50屆，國際數學奧林匹克委員會舉行了50周年慶典活動。

在這場50周年慶典，出現了很多聞名世界的數學家。

慶典結束后，則是正式比賽，來自全球105個國家和地區的近560名學生將參加本屆比賽。

整個比賽持續一周時間。

比賽選手將在這為期一周的時間內攻克數學難題，爭奪數學奧林匹克的金銀銅牌。每個國家的參賽選手，都抱著為國爭光的決心前來征戰世界。

3月15日，競賽拉開帷幕

IMO一共六道題，今天考三題，明天考三題，每題7分，滿分是42分。每個競賽日的競賽時間為4.5個小時，可攜帶任何文具及作圖工具，一切電子設備不被允許帶入賽場。

因為競賽時間較長，各選手可自帶食物飲料進場，可并攜帶不多于三本的參考資料。

但是秦元清除了帶了一些吃喝的，其他參考資料一本沒帶，因為按照以前的情況，參考資料基本上沒有什么用的，出題人早已考慮到這些，要是參考資料能夠找到解決辦法，說明出題人的出題水平太爛了。

這就如同國內考試，開卷考往往比閉卷考難得多。

因為本國選手拿到題目，都已經是換成本國文字，所以選手拿到試卷，都不會存在任何語言文字的障礙。

秦元清拿到試卷，只有三題，第一題是最簡單的，要是連第一題都不會做，那么后面兩題都不用考慮了。

秦元清很冷靜，第一道題最簡單，是送分題，可是同樣的，一不小心就變成了送命題。

“1、n是一個正整數，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整數，并且n|ai（ai+1-1）對于所有i=1，2，.......，k-1都成立，證明：ak（a1-1）不能被n整除。”

秦元清看了三遍題目，心中暗罵一下提供這題的人以后生孩子沒屁眼，竟然暗設陷阱，一個不小心就會答錯掉。

秦元清開始作答，首先利用數學歸納法證明：對任意的整數i（2≤i≤k），都有被整除，得出當i=2時，由已知得能被乘除的結論成立。一步步以此展開，最后得出，ak（a1-1）不能被n整除的結論。

然后秦元清又看向第二道題。

“△ABC外接圓的圓心為O，P、Q分別在線段CA、AB上，K、L、M分別是BP、CQ、PQ的中點，圓Г過K、L、M并且與PQ相切。證明：OP=OQ。”

秦元清這一題審題完成，倒是覺得這一題比上一題容易一些，沒有設陷阱。先是做了一個圓，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB線段以及P、Q二點，然后標出BP、CQ、PQ的中點K、L、M。最后作出圓Г。

隨后以直線PQ與圓Г相切，相切點M，然后通過弦切角定理得出∠QMK=∠MLK。由于點K、M分別是BP、PQ的中點，所以KM∥BQ，從而得出∠QMK=∠AQP。

因此得到∠MLK=∠AQP。

同理，∠MKL=∠APQ。

根據角的相等，得到△MKL∽△APO，從而得到MK/ML=AP/AQ

因為K、L、M分別是線段BP、CQ、PQ的中點，所以得到KM=BQ/2，LM=CP/2，將此帶入上式得BQ/CP=AP/AQ，將式子轉為AP·CP=AQ·BQ。通過圓冪定理知OP2=OA2-AP·CP=OA2-AQ·BQ=OQ2

所以，得出結論OP=OQ。

秦元清連檢查都沒有檢查，將抽向的數學問題轉為圖像，這個是他擅長的地方，他有十全的把握證明。

緊接著秦元清看向第三題，“3、S1，S2，S3，......是嚴格遞增的正整數數列，并且它的子數列SS1、SS2、SS3，.....和SS1+1，SS2+1，SS3+1......都是等差數列。證明：S1，S2，S3......是一個等差數列。”

看著這一題，秦元清微皺起眉頭，這一題明顯比前面兩道題難得多，秦元清將已知條件稍微捋了一下，這一道題融合了等差數列、以及轉換法。

秦元清一步一步地展開，通過數列以及子數列都是嚴格的遞增的正整數數列，設Ssk=a+（k-1）d1，SSk+1=b+（k-1）d2（k=1，2......，a、b、d1、d2∈N+）。

將問題轉為函數、數列后，以Sk<Sk+1<Sk+1及{Sn}的單調性，知對任意的正整數k，有SSk<Ssk+1≤SSk+1。即a+（k-1）d1<b+（k-1）d2≤a+kd1

因此a-b≤（k-1）（d2-d1）≤a+d1-b。由k的任意性知d2-d1=0，得到d2=d1。。。。。。

當秦元清寫下證明結論，摸了一下額頭，發現已經冒汗了，輕輕地吐出一口濁氣。

隨后秦元清站了起來，做了個交卷的手勢。監考官走到他面前，將他的考卷裝入文件袋密封。

秦元清輕松自若的離開考場，毫無壓力。既然作答了，那么就不會有錯。

當秦元清離開考場，才知道他是第一個交卷的，華夏奧數隊的隊員都還沒交卷，其他國家的奧數隊也都還沒有一個交卷。

“首日競考感覺如何？”副領隊看到秦元清，連忙問道。

“一般般啦，很輕松！”秦元清瀟灑地擺擺手：“還沒有集訓考試難，放心，42分跑不了！”

副領隊聞言頓時松了口氣，在這一支華夏奧數隊，秦元清是王牌存在，是壓艙石，既然秦元清這么說，那說明今年的難度不大。

“就是第一道題，也不知道哪一國出題的，設了個陷阱，一不小心就會做錯。太缺德了，和我們這些高中生耍心眼！”秦元清吐槽地說道。

然后秦元清就看到不遠處，一個人高馬大的白人看了過來，眼神不善，副領隊連忙用手捂住秦元清的嘴，小聲道：“聽說第一道題是澳大利亞出題的，那人是澳大利亞奧數隊的副領隊！”

秦元清無語。

自己這是背后說人壞話，還被人家聽到，這太傷人品了。

不過一聽是澳洲，頓時覺得這澳洲簡直是缺德，他重生前澳洲就不知道哪根筋搭錯了，和華夏抬杠著，導致網上罵聲一片。現在，其他兩道題都很正常，特別是最后一題出得很有水平，就第一道題卻玩心眼，這澳洲真是腦袋不正常。

秦元清就搞不明白，澳洲這樣腦殘，怎么有那么多華夏人移民澳洲，結果腦袋瓜也被影響，比如2020年年初那聲名大噪的梁某研，態度蠻橫無理，甚至還大喊救命，聲稱有人騷擾她，要不是有視頻，還真的是有理說不清。被驅逐出境，竟然還要華夏人跟她道歉，報銷機票，簡直腦袋瓜生銹了。

大概半個小時，有印度人走出考場，秦元清好奇道：“副領隊，阿三的數學很強？”

副領隊說道：“那是自然，印度人的數學水平在世界范圍內也能排上號，僅次于菲獎的拉馬努金獎，就是以印度數學家拉馬努金的名字命名。”

“拉馬努金這人是厲害，拉馬努金猜想系列屬于比較厲害的。”秦元清微微頷首。

至于隨后出來的是俄國選手，當初蘇聯時代，數學就非常的強，誕生了很多偉大的數學家，謝爾蓋、德里費爾德等都獲得菲獎，繼承了大部分蘇聯遺產的俄國，在數學自然也是非常強的，比如格里戈里·佩雷爾曼更是破解了龐加萊猜想的猛人，因為他證明龐加萊猜想，不知道相關聯的幾千個數學猜想因此成了定理，可謂以一己之力推進幾何學、拓撲學的歷史進程。

哪怕佩雷爾曼是怪人，不喜歡接受采訪，不喜歡拋頭露面，可是毫無疑問，佩雷爾曼絕對是當今世界最偉大的數學家之一。

等到華夏奧數隊的人員到齊，大家才一起回了酒店，沒有人會去查答案，那只會干擾次日的比賽。

秦元清回到主場，用電腦聯網后查找世界數學強國，美利堅、歐洲、俄國、東瀛都屬于世界數學強國，都誕生了不止一位菲獎獲得者，而美利堅又是數學第一強國，不管是從大學數學專業排名，還是數學研究所、數學專業雜志等，都毫無爭議是世界第一數學強國。

而華夏，雖然這十年經常得到IMO金牌，但是卻算不上數學強國，頂多算一個數學大國。

秦元清又想到前幾天在外面所見所聞，歐美人普通人計算能力糟糕非常，但是其教育又以培養孩子的興趣，數學是一門講究天賦、邏輯的學科，要求很高，沒有數學天賦、邏輯思維不足，根本就不會進入數學大門，而那些有興趣的人，因為是自己敢興趣，往往自學能力很強，自己感興趣的往往是事倍功半。

同樣的，數學思維的養成也非常重要。華夏是個人口大國，又是普及九年義務教育，追求的是公平、公正，這就導致需要數量龐大的教師隊伍，對于華夏而言，首先是先滿足量，最后才是質。這就導致教育過程中，是以填鴨式的教學方式，這樣培養下來的學生考試成績差不多哪里去，但是思維卻是個問題。

到了大學階段，華夏大學生的數學能力與國外就體現出差距了，國外的數學天才能夠從小得到很好的數學思維培養，厚積薄發下，大學階段就展現了高超的能力。

國外是精英教育，國內是平民教育，教育體制的差距，就導致了結果不一樣。

而國內的教育制度，又導致了國內培養了數以百萬計的工程師，優質又廉價的工程師勞動力，以至于到了2018年左右，‘工程師紅利’成為了一個新的熱詞。