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第12節(jié)對稱
對稱在我們的觀念中最容易想到的就是左右對稱，我們的臉譜、雙手、動物的頭像、昆蟲、城墻門建筑等等都是左右對稱。怎樣才能算是左右對稱的呢？以蝴蝶圖像為例，令中心線為界，把兩邊對折起來，如果圖像完全重合，我們就認(rèn)為是對稱的。也就是說從中心線對兩邊以相同角度觀察，結(jié)果完全一致。左右對稱又稱鏡像對稱，鏡子就是中心線。一個圓，以圓心為旋轉(zhuǎn)軸，無論旋轉(zhuǎn)多少度，圓保持不變。我們稱為旋轉(zhuǎn)對稱。我們觀察這些不同形式對稱中的共同點，那就是不變性。無論是旋轉(zhuǎn)、鏡像，某種結(jié)果如果不變，就是我們觀察到的某種對稱。因此我們定義對稱，就是在某種操作后保持某種不變性。其名稱就是操作對應(yīng)的名稱。也可以直接稱呼對稱為不變性，比如鏡像不變性，旋轉(zhuǎn)不變性。
平移對稱，就是事物經(jīng)過平移后，保持不變。比如城墻，每隔幾十米，就重復(fù)。那么城墻平移幾十米，依然保持不變（稱為空間周期性）。如果是時間因素平移，則保持不變，稱為時間平移對稱。比如歷史上中國每隔幾百年就發(fā)生大規(guī)模戰(zhàn)爭，導(dǎo)致大屠殺，然后更朝換代。每周一都興高采烈地（心情沮喪地？）去上學(xué)等等都是時間平移對稱（稱為時間周期性）。標(biāo)度對稱，就是事物經(jīng)過放大或縮小，保持不變。似乎很神奇，但自然界很普遍。取一個向日葵，觀察葵花籽組成的曲線，這個曲線名稱為對數(shù)螺線，放大后發(fā)現(xiàn)和原始曲線沒差別，僅僅旋轉(zhuǎn)了一個角度。海螺、大氣旋渦、星系都表現(xiàn)出標(biāo)度不變性。
大家都感嘆時光一去不復(fù)返，但時間是如何體現(xiàn)出來的？時光流逝，馬齒徒增。人的容貌和體質(zhì)都在變化。倘若無變化，無法體現(xiàn)時間的存在。宇宙中任何事物都在變化，所以時間得以存在。對某個分子，在宇宙中存在多年而沒有變化，則對此分子而言，時間不存在。如果宇宙真是永恒，進入熱寂。那么那時時間就不存在了。在我們的宇宙中，時間是單向的。那么時光倒流所發(fā)生的事情在我們看來就是不可能出現(xiàn)的事情。比如某人越活越年輕，最后進入襁褓狀態(tài)。但是對于那些不發(fā)生變化的事物而言，時光倒流和正常流動是沒有區(qū)別的。比如一個鐘擺，一直擺動。時光倒流和正常流動，發(fā)現(xiàn)不了任何差別。也就是說，無論時間倒流還是時間正常流動，狀態(tài)不變，就意味著時間不變性。系統(tǒng)熵的單調(diào)增加和時間的單向性是一個硬幣的兩面。而熵卻是群體行為的結(jié)果。對于個體，比如電子，發(fā)生湮滅（和正電子相遇），或從能量中誕生（產(chǎn)生出一正一負(fù)，方向相反地離開），都是時間倒流和正常流動中無法區(qū)別的。那么描述這些個體的物理規(guī)律，就與時間無關(guān)。也就是說保持時間不變性。當(dāng)物理規(guī)律描述的群體行為中個體因素消失時（個體因素是如何消失的？使用幾率來描述時，個性消失，只剩下提取出來的群體屬性。當(dāng)熱寂出現(xiàn)后，群體屬性和個體屬性類似。），時間因素就出現(xiàn)了，此時無法保持時間不變性了。考察某個物理規(guī)律對應(yīng)的方程，如果讓時間倒流（稱為時間反演，即方程中時間符號變負(fù)t--t），方程不變，則此規(guī)律保持時間反演對稱性。
置換對稱，在群體（系統(tǒng)）中互換兩個對象，而群體不變，似乎是很陌生的樣子。易經(jīng)里面有太極，為世界的本源秩序，稱太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。太極陰陽圖，里面分黑白兩色。當(dāng)黑白色互換以后，發(fā)現(xiàn)陰陽圖和原來的圖差別只是旋轉(zhuǎn)180度而已。我們把黑白色換成正義和邪惡。如果正義和邪惡勢均力敵，把正義稱為邪惡，邪惡稱為正義，互換以后依然是勢均力敵。正義戰(zhàn)勝邪惡和邪惡戰(zhàn)勝正義，僅僅置換一下概念即可實現(xiàn)兩者轉(zhuǎn)換，意味著兩者在置換下等效。二元對立概念，只要可以相互轉(zhuǎn)換，就可以實現(xiàn)置換變換（生與死，兩者不能相互轉(zhuǎn)換。那么相互轉(zhuǎn)換意味著轉(zhuǎn)換本身是時間不變性）。
陰陽圖進行置換后，并不是原來的陰陽圖，而是需要旋轉(zhuǎn)180度。那么進行置換和旋轉(zhuǎn)180度后，陰陽圖保持不變，意味著在陰陽圖是（置換+旋轉(zhuǎn)）對稱。那么多種對稱聯(lián)合操作，就是對稱的組合。
思考：
人性有多種表現(xiàn)形式，其中基因?qū)е碌纳锾匦哉紦?jù)多數(shù)，社會性動物的特性占少數(shù)。但是隨著社會變遷，社會的習(xí)俗和規(guī)范，使得人群表現(xiàn)出不同的價值觀念和評判標(biāo)準(zhǔn)。在不同的價值體型中，人的表現(xiàn)截然不同，僅僅是人性的不同方面得到發(fā)揚或抑制，而人性并沒有發(fā)生變化。也就是說人性是時間不變，而人群的觀念是時過境遷。以當(dāng)下的價值標(biāo)準(zhǔn)評判以前的是非，除了荒唐可笑以外無以言表。太陽底下沒有新鮮事，表明的是人性亙古不變，而不是人群價值觀的永恒。
組成我們身體的這些原子，幾十億年前可能屬于不同星系的恒星。對這些原子而言，幾十億年如彈指一瞬間。對于我們身體而言，幾十年卻是漫漫人生路。我們有生老病死，原子卻只是在隨機振動。
地球的大多數(shù)動物就存在某種對稱（海洋深處生活著一些奇形怪狀的動物）。我們?nèi)粘Ｗ畛Ｒ姷木褪晴R像對稱。不過同理想的對稱不同，對稱都存在小缺陷。比如我們就多數(shù)是右撇子，右臂肌肉要比左臂發(fā)達(dá)。心臟在左邊，肝臟在右邊。忽略小缺陷，動物就可能存在多種對稱形式。比如金環(huán)蛇、蜈蚣就存在旋轉(zhuǎn)對稱、平移對稱。水母存在鏡像對稱、旋轉(zhuǎn)對稱。普通魚存在鏡像對稱、平移對稱（魚鱗）
萬里長城可能是最長的平移對稱人造對象了。在地圖上表征長城的符號也是平移對稱的。從它的功能上來看，也是平移對稱：防御力平均，各處一致。
一年中有各種節(jié)日，比如生日、清明、重陽。這些都是時間平移不變。平移的時間段剛好是地球繞太陽一周（略有差異）。唐詩有云“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同”、“人生代代無窮已，江月年年望相似”，消除個性后，群體表現(xiàn)出的時間平移不變性。
對稱操作可以使事物表現(xiàn)出不同狀態(tài)，當(dāng)事物的變化較為復(fù)雜時，可使用對稱操作來降低復(fù)雜度。在臺球桌上，僅有一個球，擊打此球，令其在桌面上運動，假設(shè)不存在任何阻力，可以無限運動下去，如何得知在某個時刻的位置和運動方向呢？臺球要在臺壁上反彈，導(dǎo)致位置和方向都在變化。而以反彈臺球的臺壁為鏡像中心，對球桌進行鏡像變換，則臺球的軌跡變?yōu)橹本€。很容易計算出在某個時刻的位置和方向。如右圖所示，鏡像后球桌稱為一系列的鏡像擴展，而球的運動軌跡為直線，每和臺壁相交一次，就意味著反彈一次。而橫向或縱向鏡像兩次就意味著回到原始球桌。當(dāng)球桌不是長方形，比如五邊形時，是否可以這樣來計算？
標(biāo)度對稱，本質(zhì)是什么呢？以海螺為例，海螺攝入食物，除了自身消耗外，都轉(zhuǎn)換為身體組織的一部分。攝入食物量和身體的體積成比例，也就是和身體的質(zhì)量成比例（假設(shè)為A）。而身體消耗量也和身體重量成比例（假設(shè)是B），只是要小而已（AB）。那么食物轉(zhuǎn)換為身體組織的量也和身體重量成比例（A-B）！就意味著身體越大，食物轉(zhuǎn)換為身體組織的量也越大，兩者之間的比例為固定！標(biāo)度不變性就是這個放大自身的比例不變！只要事物的變化量和自身總量成比例，總是體現(xiàn)出標(biāo)度對稱。通常以馬太效應(yīng)稱呼。一個人自身的能力總是有限，假設(shè)以增大自身的數(shù)值來衡量，那么他的成就和他的初始值密切相關(guān)。牛頓說自己是站在巨人的肩膀上。當(dāng)然牛頓的增加系數(shù)非常高，把我們換在那個位置，增加系數(shù)不為負(fù)值就不錯了。皇帝制度下，開拓之君，增加系數(shù)大于0，守成之君，增加系數(shù)在0左右徘徊。亡、國之君，增加系數(shù)小于0.一個人終生可以取得的成就，就依賴于社會及家庭賦予的初始位置（地下室、地面或巨人肩膀）（九品中正制，戶籍）及先天天賦和后天培訓(xùn)（綜合為增加系數(shù)）。
彼之美味，他人之毒藥，說明人觀念上的沖突。所有的觀念是以自身利益為前提，在不同環(huán)境下體現(xiàn)的形式不同僅僅是外在包裝。表現(xiàn)出人性的時間不變性。文明的沖突就體現(xiàn)了在不同群體的價
值取向和分配模式，每個文明價值的受益者都力圖擴大自身的文明的影響范圍，以宗教、暴力等方式爭奪文明受眾。由于地球有限，文明擴張中的對抗和融合，表現(xiàn)出置換對稱。最直接的方式就是成王敗寇。
人和動物有無數(shù)區(qū)別，但超越生存需求的體驗“美”無疑是其中之一（當(dāng)然你說動物也有美的欣賞，只是我們無法共鳴而已。子非魚，安知魚之樂乎？子非吾，安知吾不知魚之樂乎？這個就成為標(biāo)度變換）。包括音樂、繪畫、數(shù)學(xué)等等各個領(lǐng)域都能產(chǎn)生美的體驗，而其中都能尋覓到對稱的蹤跡。音樂中一個聲音的頻率提高一倍，稱為提高八度。將八度范圍分為了十二等分，稱為十二平均律。最早由明朱載堉精確給出，真是配得上黃鐘大呂名稱。音階平分后，平移對稱很容易滿足。現(xiàn)在舞曲的背、景伴奏都是滿足平移對稱，用以指示舞步。而舞曲和舞步恰好是時間和空間平移對稱的完美結(jié)合。建筑和繪畫經(jīng)常出現(xiàn)在一起，好的畫家也是好的制圖員（雖然達(dá)利的畫與建筑圖迥然不同），但制圖員缺乏藝術(shù)創(chuàng)造力就只能繪圖。面對史前人類山洞中的礦物顏料繪畫，畢加索感嘆“我們的藝術(shù)毫無進步”。無論是原始宗教抽象出的圖騰，還是純粹的裝飾風(fēng)格的圖案，充斥著平移、鏡像、旋轉(zhuǎn)、置換以及它們組合的對稱形式（人類的雙足行走，滿足這鏡像和平移的結(jié)合；動物的四足行走，滿足滑移和時間平移對稱；植物生長，滿足旋轉(zhuǎn)對稱和平移對稱）。行萬里路，觀看沿途的風(fēng)景，體現(xiàn)不同風(fēng)格的正是對稱方式和基礎(chǔ)紋理不同的圖案造成的心理影響。通常這些圖案沒有扭曲和縮放，但在繪畫的透視中，遠(yuǎn)近和光線陰暗變化，造成圖像的縮放扭曲。這些異常采用數(shù)學(xué)方式描述時，可以歸結(jié)到規(guī)范變換在某個方向的投影。但無論向那個方向投影，規(guī)范變換本身不變。另外并不是對稱就產(chǎn)生美。現(xiàn)代電腦都可以作曲寫詞，流行歌曲可以湊出來，短期內(nèi)還到不了莫扎特、巴赫的境界。
對稱意味著某種不變性，而事物在不變性的范圍增減時，意味著對稱發(fā)生某種變化。以圓為例，滿足旋轉(zhuǎn)對稱，同時又滿足鏡像對稱。但是滿足鏡像對稱的，極少又能滿足旋轉(zhuǎn)對稱。可說明旋轉(zhuǎn)對稱要求比鏡像對稱高。在圓中劃一個十字，其中十字交點在圓心。那么圓依然滿足旋轉(zhuǎn)對稱，但旋轉(zhuǎn)角度以前是任意度數(shù)，現(xiàn)在只能是90度的整數(shù)倍。稱這種現(xiàn)象為對稱破缺。在旋轉(zhuǎn)對稱破缺后，依然保持鏡像對稱，但以前鏡像對稱軸有無數(shù)個，現(xiàn)在僅剩4個。
思考：
液體水中的水分子，任意互換兩個分子，水不會產(chǎn)生任何變化。一滴水中，水分子滿足多種對稱形式。在過冷水中，因為沒有任何其他雜質(zhì)，雖然水應(yīng)當(dāng)結(jié)冰，但是對稱的因素使得水依然保持液態(tài)。當(dāng)過冷水遇到任何與水分子不同的分子時，此時水滴內(nèi)的對稱性產(chǎn)生破缺，水立刻以這個破缺點為中心開始凝結(jié)，變成冰。如果過冷水是從空中降落，則成為冰雹。類似狀況，雪花的形成。當(dāng)氣溫很低而空氣中水汽充足，形成大量冰晶核。這些核相互接觸，因冰中水分子形狀和液體中不同，張角是1/3圓弧，所以形成各種六角形。因冰中水分子連接保持六角旋轉(zhuǎn)對稱，最終形成的雪花維持六角旋轉(zhuǎn)對稱。
在冷兵器戰(zhàn)爭年代，戰(zhàn)爭經(jīng)常圍繞著城墻進行。進攻一方采用各種手段破壞城墻，最易選擇的地方就是城墻的薄弱位置。而這個薄弱位置正是城墻防御平移對稱性的破缺點。
按照木桶理論，一個木桶能裝水的容量取決于最短的木板。木桶本身是旋轉(zhuǎn)對稱，每個木板長度都應(yīng)該是一致的。但出現(xiàn)了對稱破缺，導(dǎo)致整體性能下降。類似的情況是產(chǎn)品的壽命，當(dāng)產(chǎn)品到了壽命終點，每個器件都應(yīng)當(dāng)處于同樣狀態(tài)。當(dāng)出現(xiàn)對稱破缺，某個器件還可以堅持使用，就出現(xiàn)了資源浪費。
實際系統(tǒng)中出現(xiàn)的對稱破缺可能是局部微小的擾動放大到全局。一個環(huán)狀多米諾骨牌組，保持平移和旋轉(zhuǎn)對稱。某個骨牌倒下，導(dǎo)致骨牌全倒。倒下的骨牌正面向上，則所有骨牌都正面向上，反之亦然。以法國人Bénard的名字命名的一種對流，也是對稱破缺放大到全局的事例。在扁平器皿中放置薄層（相對器皿等尺寸非常小）水，在底部均勻加熱。器皿底部水和上層水形成溫差。因為加熱均勻，整個器皿內(nèi)水保持水平平移對稱，在水的上下有均勻溫差，熱以傳導(dǎo)的形式傳遞。當(dāng)上下溫差達(dá)到一定程度時，對流突然發(fā)生！從液體上空來看，出現(xiàn)六角形花紋，如同蜂窩。水的對流是從六角形中心上升，邊緣下降。對流發(fā)生時，某點的擾動影響突然擴展到全部液體。和多米諾骨牌相同（有條件時，可嘗試進行對流實驗，體驗導(dǎo)、火索的出現(xiàn)，事實上，大氣中經(jīng)常出現(xiàn)Bénard對流）。
前面提到過慣性，慣性必然涉及外因的出現(xiàn)。宇宙中的事物總是相互聯(lián)系的（馬赫慣性系），對稱的事物及其外因是綁定的。當(dāng)考察某事物對稱性變化時，外因的集合（外因的總體）是否滿足對稱，或外因與事物的關(guān)聯(lián)方式是否滿足對稱，都會對事物的演變、對稱破缺產(chǎn)生影響。而對影響結(jié)果的分析，可在不了解事物演變規(guī)律的情況下，進行粗略評估。
在上述闡述中，因?qū)е鹿侨笔≌f明的內(nèi)在要求。稱這種關(guān)系為因果關(guān)系。佛教里面跨越時空的因果關(guān)系不在討論范圍內(nèi)。我們討論的都是可以重復(fù)進行、反復(fù)驗證的因果關(guān)系。
以馬格努斯效應(yīng)為例，如右圖。球向左飛行，如果球不旋轉(zhuǎn)，則球保持上下鏡像對稱，對稱中心線就是穿過球心的左右水平線。而球保持旋轉(zhuǎn)。則球的兩側(cè)相對空氣的速度有差異，破壞了上下對稱，即便不了解空氣壓力，也可知道球偏離原始的單純向左運動。至于向上還是下偏移，則需要了解運動規(guī)則細(xì)節(jié)才能知道。旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致上下對稱破缺，產(chǎn)生軌跡偏移。因=對稱破缺，果=軌跡偏移，偏移方向位于對稱破缺的方向上，即上下方向（而不是垂直紙平面方向）。
法國人居里（他的妻子就是居里夫人）提出對稱性原理：原因中的對稱性反映在結(jié)果中，結(jié)果中的對稱性不少于原因中的對稱性。（對應(yīng)的逆否定理自己給出）
同樣是球的飛行，現(xiàn)在方向變?yōu)閺募埨锵蛲獯怪庇诩埫骘w行，從球的正面觀察，球保持旋轉(zhuǎn)對稱，對稱軸是穿過球心的垂直于紙面的直線。現(xiàn)在球存在旋轉(zhuǎn)，但旋轉(zhuǎn)軸和球的旋轉(zhuǎn)對稱軸重合！那么球的旋轉(zhuǎn)沒有破壞球在前進方向上的旋轉(zhuǎn)對稱性，因此不會對球的飛行軌跡產(chǎn)生任何影響。火器發(fā)展到十九世紀(jì)，出現(xiàn)線膛槍，射出的子彈就帶有旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軸和子彈飛行軌跡重合。這種旋轉(zhuǎn)對空氣的干擾有很強的抵抗能力，準(zhǔn)確度大大高于滑膛槍，現(xiàn)代的槍支都是線膛槍。
思考：
水是良好的溶劑，但是無法溶解油脂。因為水的分子結(jié)構(gòu)對稱性低，雖然整體不帶電性，卻使得分子的某個方向產(chǎn)生電負(fù)性，相反方向是電正性。而油脂的分子對稱性高，整體和局部都不存在電性。水這樣的分子稱為極性分子，油脂類型的稱為非極性分子。可以想象，水能溶解的物質(zhì)，都存在和水分子一樣的狀況，要么是極性分子，要么可以分離為電正性、電負(fù)性兩部分。而油脂類型的分子也可以做溶劑，比如汽油。可以溶解的分子也必然是對稱性程度接近，都是極性分子。比如手上沾了油漆，需要用汽油清洗。酒精，既可溶解極性分子（水），也能和非極性分子混合（香精）。從分子的結(jié)構(gòu)來看，局部是極性分子，局部是非極性分子。但對極性分子和非極性分子的溶解能力都低于極性溶劑和非極性溶劑。洗潔精，使用的溶劑就和酒精類似，同時存在極性部分和非極性部分，可以洗滌油脂，并溶解于水。
平行四邊形，滿足鏡像對稱（穿過對角線交點的直線都是對稱中心線）、旋轉(zhuǎn)對稱（旋轉(zhuǎn)180度）。當(dāng)變形時，對稱不產(chǎn)生破缺！依然保持平行四邊形。那么意味著平行四邊形可以任意變形。正三角形，滿足鏡像對稱（3個對稱中心線）、旋轉(zhuǎn)對稱（旋轉(zhuǎn)120度），通常的三角形沒有對稱性。那么三角形發(fā)生形變時，對稱性通常消失了。比較兩種形狀的對稱性變化情況，可
得到結(jié)論：三角形形變是破壞性的，而平行四邊形形變則保持完整性。那么三角形形變的代價大于平行四邊形（如果三角形和四邊形都不存在對稱性，無法使用對稱性來分析）。立體結(jié)構(gòu)中，正四面體的情況和平面中的正三角形類似。平行六面體和平面中的平行四邊形類似。那么同樣正四面體很難形變，而平行六面體很容易形變。自然界最硬的物質(zhì)金剛石，就是正四面體結(jié)構(gòu)，其他堅硬的物質(zhì)（剛玉，通常形式，莫桑石），都存在三角形結(jié)構(gòu)。滑石，就是平行六面體，硬度很低，不如指甲。
電磁波充斥著宇宙，電場和磁場相互耦合。直觀看起來，電場和磁場的對稱性類似。丹麥人奧斯特做了一個實驗，如右圖。在直導(dǎo)線上平行放置一個磁鐵，兩者位于紙面所在平面。當(dāng)導(dǎo)線通電時，磁鐵偏轉(zhuǎn)，離開紙平面。整個實驗系統(tǒng)是保持同一平面內(nèi)，作用雙方導(dǎo)線和磁鐵是平行，按照對稱性要求，合理的結(jié)果應(yīng)該是磁鐵平行靠近或遠(yuǎn)離導(dǎo)線（對稱性保持最高），或者南北極一方靠近，另外一方遠(yuǎn)離（南北極的差異體現(xiàn)）。總之是保持同一平面。結(jié)果卻破壞了對稱性。這說明不對稱性是出現(xiàn)在電場或（和，）磁場中（按照居里定理的逆否形式）。電荷有單獨的正電荷或負(fù)電荷，而磁極卻永遠(yuǎn)是南北極共存，無法分離。這正是雙方對稱性不相同的外在表現(xiàn)。
中國歷史時間平移性維持了千年，同時保持了社會結(jié)構(gòu)的對稱。基本是上層建筑和底層民眾，不同朝代的上層出現(xiàn)方式不同，漢：世家，晉、南朝：上品，北朝：門閥，隋：門閥（時間短是因為門閥反擊楊廣成功），唐：門閥-軍閥。宋：貴族消失，進入市民時代，中國進入頂峰時期，或許會改變時間平移性。但蒙古人入侵，中國滅亡。
迦太基是腓尼基人的移民國家。腓尼基公主避禍來到突尼斯灣，向當(dāng)?shù)厝饲蠼枰粡埮Ｆさ耐恋貤怼＋@準(zhǔn)后將牛皮剪成長條，圈里一大塊地，修建了迦太基城。雖然采用了騙術(shù)，但對公主的承諾依然有效，如果是個王子的話，估計就是當(dāng)?shù)嘏最I(lǐng)同意的結(jié)果。問題是，牛皮長條的長度固定，所圈的土地是何種形狀才能保證面積最大呢？我們采用對稱的方法來解決。A.從直覺來看，牛皮繩索同樣長度對面積的貢獻(xiàn)應(yīng)該是相同的。這個意味著從土地內(nèi)觀察繩索，滿足旋轉(zhuǎn)對稱。土地就是圓形。B.從推理的角度，我們必須逐漸細(xì)化分析過程，獲知土地形狀。定義：1凸域，凸域邊緣任意兩點連一條直線，必然屬于內(nèi)部區(qū)域，不會和邊緣有交點.2邊緣上某點和相距周長一半的另外一點的連線稱為徑。推理次序：B.1土地的形狀必然是凸的，為什么？B.2徑將土地分為兩塊，則兩塊的面積一定相等。B.3如果徑點所在地邊緣是直線段，則此線段必然和徑垂直。使用鏡像對稱證明。B.4邊緣不存在任何直線線段，邊緣是弧形的。使用鏡像對稱證明。B.5弧形邊緣的切線必然和切點對應(yīng)的徑垂直，使用鏡像對稱證明。B.6不存在某點是兩段弧的交點，即此點存在兩條切線，切線的夾角不等于180度。使用旋轉(zhuǎn)180度對稱證明。B.7任意多個徑的交點為同一點。使用鏡像對稱證明。B.8徑的交點平分徑。使用鏡像對稱證明。B.9徑的長度都相等，使用鏡像對稱證明（*）B.10滿足以上條件的邊緣就是圓，土地就是圓形。#（若不使用對稱方法，則需要變分法來推理。）
按照上題的推理方式，證明固定面積所圍的封閉空間體積最大的形狀是球形。在球面上，兩點距離最短的線是什么？（線必須在球面上，不能穿越內(nèi)部空間）（定義其中一點為北極，按照地球情況來看，北極和任意一點之間最短的線是什么？）最長的線又是什么？如何使用對稱原理來推理？國際航班路線，經(jīng)常穿過若干個國家的領(lǐng)空，會發(fā)現(xiàn)穿過領(lǐng)空的國家在地圖上似乎并不在航線起點和終點之間。
現(xiàn)實的空間邊界難以精確界定，游戲中的空間通常都是精確的。以游戲人物的包裹為例，都是二維的離散格子組成的空間。裝入的物品也是小型號的二維離散格子，那么在填充包裹時，如何才能包裹容納效率最高？隨便在包裹中亂放物品，剩余空間會變得非常破碎，導(dǎo)致雖有足夠的剩余空間，但無法放置一個物品。剩余空間以何種指標(biāo)指示，才能反映剩余空間的完整程度？如有可能，編程實現(xiàn)包裹自動安置物品，使得包裹可以最大程度地滿置。
前面提到蜂巢，表現(xiàn)為正六邊形，完整地布滿整個平面。布滿平面而沒有縫隙的形狀有正三角形，正方形和正六邊形（事實上，正五邊形和等腰三角形混合、正方形和正三角形混合、2種菱形混合都可以鋪滿平面不留縫隙）。當(dāng)設(shè)定以最小的邊長總和來劃分某面積時，毫無疑問，最接近圓的形狀滿足條件，結(jié)論就是正六邊形劃分平面。所以蜜蜂的蜂巢就是這一結(jié)果，可以最節(jié)省建筑材料。
信息的對稱問題。在變換中，如果初始的信息沒有任何損失，全部存在于結(jié)果中，那么從結(jié)果可以反推初始信息。我們對世界的認(rèn)識就是以這種信息的反推得到。如果變換中損失部分初始信息，那么從結(jié)果反推初始信息將有兩種情況：1.無法反推。2.反推出多個初始信息。現(xiàn)代密碼算法，避免破譯的方法就是制造信息損失（損失的信息就是密碼！）。通訊中的加密信號，還要和偽隨機信號進行處理，得到近似隨機信號，讓信號進入徹底的熱寂狀態(tài)。加密過程的復(fù)雜程度和解密過程的復(fù)雜程度不對稱（這些過程的通常名稱叫算法），解密復(fù)雜程度更高，使得復(fù)原信息的代價大幅度增加，當(dāng)代價大于信息的價值時，我們就認(rèn)為加密是有效的。現(xiàn)實生活中說某人的城府深淺，也是信息隱藏的另類稱呼。比如說胸有驚雷而面如平湖，隱藏對某信息的反應(yīng)，以欺騙觀察者。或假癡不癲，直接給出錯誤信息。我們的眼睛為什么是兩只？我們觀察的三維對象，進入我們的眼睛，投影在視網(wǎng)膜上。而視網(wǎng)膜是二維，因此必然出現(xiàn)信息丟失。而同一對象中兩只眼睛的視網(wǎng)膜上的投影是有差別的，這種差別彌補了投影帶來的信息損失，使得我們的大腦可以加工出對象的真實情況。剛才的分析可以得到什么結(jié)論呢？差別=信息！這就是為什么彩色的世界比黑白的世界更豐富，原因就是差異更大。同等的差異程度，信息相同嗎？狗咬人，人咬狗，差異程度類似，但是一個很常見，一個很罕見。則罕見的差異信息更多。波特蘭.羅素曾說過：參差多態(tài)乃幸福的本源。信息豐富，至少精神追求多樣化。人失去個性，僅存共性，就成為卡夫卡所說的“沒有面孔的人”，連環(huán)畫中的士兵都是這樣。
觀察宇宙，由光譜和多普勒效應(yīng)，我們得到宇宙正在膨脹！那么能否由觀察不同距離的遠(yuǎn)離地球的速度，推導(dǎo)出宇宙的膨脹中心呢？二十世紀(jì)二十年代，美國天文學(xué)家沙普利建立了銀河系模型，并根據(jù)觀察來確定中心與直徑。但站在地球上觀察銀河，只能看到天空中它的原始意義，因為太陽是位于銀河系中。通常是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，但我們依然推導(dǎo)出銀河整體的全部信息。從對稱的角度來看，按照居里定理，純粹的內(nèi)部視角信息無法推理出以外部視角觀察到信息。就像一個人不借助外部因素，無法把自己提起來一樣。所以借助了銀河系以外的觀測信息進行補充。內(nèi)部視角信息+內(nèi)部視角觀察外部所得信息-外部視角的信息。銀河的中心、直徑、恒星數(shù)量估計，這些信息是僅與自身相關(guān)，而運動方向及速度、旋轉(zhuǎn)速度信息是從銀河外視角觀察的。當(dāng)給出宇宙邊界的界定方式、恒星的演變規(guī)律、宇宙的模型，那么僅與宇宙自身相關(guān)的信息就可以通過觀測的數(shù)據(jù)進行反演。數(shù)據(jù)同時可以修正模型，這樣反復(fù)進行，就在對宇宙而言塵埃一樣存在的地球上，得到宇宙的景象！而宇宙是膨脹的-宇宙具有起點-宇宙居然可能不是永生的！
能量轉(zhuǎn)換的對稱問題。功轉(zhuǎn)熱，效率100%，熱轉(zhuǎn)功，效率
（本章完）