第204章 解決等譜非等距同構猜想

辦公室中，費弗曼盯著黑板上的算式看了良久，才開口道：

“這同樣是一種可以解決等譜問題的辦法，而且你構思的道路完善程度要遠超于我。”

“我僅僅是構思了一個想法，但你已經在這個想法上進行了拓展，甚至做了一部分計算。”

停頓了一下，費弗接著道：“不過我并不打算放棄我自己的思路，或許我們可以搞個大的出來。”

徐川好奇的問道：“什么大的？”

“分開研究！”

費弗曼溫和的笑了笑，接著道：“我們分別從各自的道路上出發，利用自己的方法針對等譜問題進行突破，如果我們能在三個月內都完成這個問題的解決，那么到時候就一起發出去。”

“這也算是對我們的一種壓力，三個月的時間解決一個難題，想想就讓人感覺刺激。”

和徐川一樣，他也看好對方提供的思路，認為這同樣可以解決等譜問題。

但他并不準備放棄自己的思路，在他看來，兩人的思路都是建立在自己獨有的數學知識上的。

既然這樣，那不如干脆分開研究。

給定一個時間期限，彼此做一個良性的競爭，看看到底是誰的思路和誰的能力更加出色一點好了。

徐川眼眸動了動，理解了費弗曼的想法，笑道：“不得不說，這的確是個很有意思的提議，也很讓人心動。”

頓了頓，他接著道：“當然，也很讓人有壓力。”

三個月的時間解決等譜問題，即便是他們腦海中都有了解決這個問題的思路，也不是那么容易做到的。

如果答應，意味著兩人都要在這三個月內爆肝了，壓力十足。

“那么，你的想法呢？”費弗曼咧嘴問道。

“我接受這份挑戰。”徐川果斷的回應。

面對挑戰，怎么能退縮，更何況他還有年齡優勢。

今年他才二十歲，而費弗曼已經六十六了，在爆肝這一塊，相信他比費弗曼會更加持久。

“哈哈哈哈，好，那讓我們開始吧！”費弗曼開心的笑著回應。

盡管在普林斯頓中，他是出了名的溫和謙遜，待人和善幾乎沒有脾氣，但這里終究是普林斯頓，每個人心中都有著自己的傲氣。

哪怕他的年齡不如徐川，在爆肝方面不如對方，但他也不是沒有優勢的。

年齡大，意味著他多了四十多年的經驗與知識。

從這方面來看，他占據了絕對的優勢。

只是，他不知道的是，站在他面前的，到底是一個怎樣的怪物。

普林斯頓高等研究院。

一棟別墅中，一個身影匍匐在書房中奮筆疾書。

雜亂的頭發，叢生的胡茬，發黑的眼圈，充滿血絲的眼睛，無不顯示這個身影已經熬了多長時間。

但和熬夜不同的是，桌前的身影眼神異常明亮，精神亢奮，手中的圓珠筆也不斷的在稿紙上劃動著。

“.”

“(D1){u =λu， x∈Ω1，u|Ω1 = 0；”

“(D2){v =v， x∈Ω2，v|Ω2 = 0；”

“.則特征值問題(D1)和(D2)分別有離散譜{λi}i∈N和{i}i∈N.若對每一個 i∈ N，均有λi =i

“.依據定理[1][6][11]，可在平面R2上構建出一對具光滑邊界(至少為 C1光滑的邊界)的有界連通區域，它們是等譜的，但卻非等距同構。”

“由此，可證等譜非等距同構猜想在三維有界區域中成立！”

最后一點落下，徐川手中的圓珠筆放下，盯著書桌上的稿紙長舒了一口氣，臉上也揚起了笑容。

眼神落在了旁邊的日歷，不知不覺間，時間已經到了六月初。

而距離費弗曼當初和他在辦公室中發起挑戰，時間已經過去了近兩個月。

在過去的近兩個月中，他借助此前對Weyl-Berry猜想的研究，利用Xu-Weyl-Berry定理中的譜漸近定理，構造出了一個兩兩不相交的有界開域的集合。

但在利用拉普拉斯算子進行轉化構建一對具光滑邊界的有界連通區域的時候，他遇到了一些麻煩。

拉普拉斯算子是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度grad的散度div。

它適應于橢圓型偏微分方程，也可以用來描述物理中的平衡穩定狀態，如定常狀態的電磁場、引力場和反應擴散現象等。

這是解決等譜問題的關鍵，但它在特征值的計算方面無法構建出的穩定的閉Willmore超曲面，也無法計算出常平均曲率。

這一度讓他苦惱不已。

幸運的是，通過針對等譜問題與偏微分方程相關文獻方面的搜索瀏覽，他找到了一個適合的補救辦法。

保Hamilton系統辛結構的辛幾何算法、保李群微分方程的李群方法。

這兩種于上個世紀日不落國數學家提出的算法，能長時間精確模擬微分方程的變化，且能近似保持微分方程動量和能量守恒特性。

而這兩個特性剛好可以應用到他的數學計算中，能恰到好處的填補上最后一塊漏洞，讓他完成最后的構建。

盯著稿紙上的答案，徐川臉上揚起了笑容。

他這邊已經完成了自己的工作，不知道的費弗曼那邊的進度怎么樣了。

三個月的時間，哪怕是加上此前兩人的共同合作時間，也只有四個多月。

四個月的時間，要解決一個世界級難題，即便是對于一名菲爾茲獎得主而言，難度也不小。

他能解決，依賴的是前世對分析學和拓撲學的研究，再加上這輩子解決的第一個數學難題就是等譜方向的，才有這么快的速度。

而費弗曼那邊，就不清楚了。

不過想必他提出這份挑戰，肯定是有些把握的。

畢竟費弗曼本身就是偏微分方程領域的頂級大牛，在光滑流形方面的研究也有獨特之處。

另一方面，在經歷了兩個月的研究后，當他再看費弗曼此前的構思時，能敏銳的察覺到從狄利克雷函數和非線性偏微分方程出發解決等譜問題，比他提出的從拉普拉斯算子出發要容易不少。

這不僅僅是科研直覺，更是來源于他這段時間對等譜問題的研究。

畢竟在解決了等譜非等距同構猜想后，他對于這個問題的了解比此前更深。

而對于能解決這個問題的其他方法，也有了一些朦朧的推測。

這也讓徐川有些感嘆，即便是他已經解決了一個七大千禧年難題，對于數學領域的了解，依舊比不上這些沉浸數學研究幾十年的頂級大牛。

他和這些專職于數學研究頂級數學家，還是有一定的差距的。

不過這個差距，正在隨著他年齡的增長，對于數學知識的吸收而逐漸縮小。

從別墅中出來，徐川并沒有去打擾費弗曼，只是去他的辦公室中看了一眼，見辦公室里面沒人后就回到了自己的辦公室。

當看到他出現辦公室門口的時候，正在里面學習的四名學生臉上不約而同的露出了驚訝的表情。

“教授，您回來了？”

“您已經解決了那個等譜問題嗎？”

幾名學生驚詫的問道。

徐川點了點頭，道：“如果不出意外的話，應該是的。費弗曼教授這些天來過嗎？”

聞言，四名學生均情不自禁的咽了口唾沫。

他們的這位的導師，是不是太變態了？

事實上，這些天在除了學習外，他們四人也一起嘗試過對徐川和費弗曼教授研究的問題進行過一段時間的研究。

想看看集他們四人之力能不能解開這個難題。

或者說，想看看他們距離兩位教授還有多遠的距離。

這個提議是沙希·佩雷斯發起的，很快就贏得了其他三人的同意。

畢竟能來到普林斯頓，可以說四人都是學霸，心里自然有傲氣。

三個臭皮匠還頂個諸葛亮呢，如果他們能解決這個問題，說不定導師和費弗曼教授能對他們刮目相看呢？

然后現實是殘酷的。

即便是等譜問題是NS方程中的一小個分支問題，即便是費弗曼教授和他們導師的兩條不同的解決思路都擺在他們面前，他們也無能為力。

別說解決這個等譜問題了，就是沿著兩位教授的思路向前推進一步，集他們四人之力都做不到。

這次的嘗試，讓他們看清了人與人之間是有差距，不，有鴻溝的。

從震驚中回過神來，羅杰·迪恩恭敬的回道：“費弗曼教授前些天來過一次，但您不在。”

聽到這個大弟子的話，徐川有些訝異，驚詫的問道：“費弗曼教授已經解決了等譜問題嗎？”

羅杰·迪恩搖了搖頭，道：“不清楚，費弗曼教授沒說過這事，不過他前些天過來的時候，向我轉述過，如果您回來了，請給他打個電話。”

徐川點了點頭，道：“我知道了。”

從口袋中摸出手機，徐川走出辦公室給費弗曼撥了過去。

電話響了一會才被接通，費弗曼的聲音迅速傳遞了過來：“哦，徐，伱終于舍得離開你的別墅了嗎？”

徐川笑了笑，問道：“你的研究進度怎么樣了？”

費弗曼：“有個地方卡住了，正在想辦法解決，你呢？”

話落，徐川還未回答，費弗曼就想起了什么，緊接著遲疑的問道：“你該不會是已經解決了吧？”

他想起了之前和德利涅交流的時候，德利涅表示徐川在解決問題的時候，習慣性將自己一個人鎖在房間中。

而每當他走出來的時候，就證明他所研究的問題已經有了結果。

該不是，他已經解決了等譜非等距同構猜想吧？

徐川點了點頭，道：“嗯，用我的方法，已經構建出來了。”

話落，對面就傳來了‘噗咚’的聲音，像是手機掉到了木桌上一樣，不過很久就抓起來了，火急火燎的聲音從里面傳來。

“你現在在辦公室吧，我馬上過去。”

費弗曼過來的速度比徐川想的還要快。

而且過來的不僅僅是他一個人，跟著一起過來的還有德利涅教授。

事實上，剛剛費弗曼就在德利涅的辦公室中，兩人正在交流如何解決遇到的問題。

“你已經解決了等譜非等距同構猜想了嗎？證明過程呢？帶過來了嗎？”費弗曼急迫的問道。

“還在我的別墅中，是一起過去，還是我去拿過來。”徐川回道。

“當然是一起過去。”費弗曼毫不猶豫的說道。

安靜的別墅中，徐川將整理出來的證明過程遞給了費弗曼，后者立刻接過去看了起來。

一旁，德利涅感興趣的問道：“還有復印件嗎？”

徐川搖了搖頭，道：“復印件沒有，不過原始的稿紙我還保留著。”

說著，他從一旁的書柜中翻出了原始手稿，遞給了德利涅。

雖然原始手稿的整潔性比不上整理后的證明過程，但從里面看一下證明者的思路還是沒有問題的。

幽靜的別墅中，時間一點一點的過去。

費弗曼教授最先放下了手中的證明過程，看向了對面的徐川，眼神有些復雜。

來之前，他還在想著是否能從證明過程中找到一些缺陷，以此來安慰自己。

但現在看來，是他輸了。

輸給了眼前這個比自己小了足足四十六歲的少年。

他沒有從論文中找到任何的漏洞，尤其是利用拉普拉斯算子轉換構建穩定的閉Willmore超曲面一步，更是讓他情不自禁的在心中拍案叫絕。

太精妙了。

仿佛數學天生就該如此一樣。

不過他也沒在這上面糾結，畢竟眼前的這個少年，拋開年齡外，在數學能力上完全不弱于他，甚至可以說更勝一籌。

他可沒有解決過七大千禧年難題，也沒有在二十歲時，就成為普林斯頓高等研究院的終身研究員。

“很優秀的證明過程，至少我沒有找到漏洞。”費弗曼將手中的稿紙放下，看向徐川接著道：“你的數學天賦真的夸張到這個地步嗎？一個半月的時間就解決了這個問題。”

徐川咧嘴笑了笑，指了指自己的黑眼圈，道：“一個半月？或許吧。”

“我這段時間以來，每天睡覺的時間不超過六個小時，就算是加上吃飯和跑步等其他時間，也不會超過十個小時，而剩下的十四個小時，我都在研究這個問題。”

聞言，費弗曼張了張嘴，欲言又止。

(本章完)